- ¿Se puede casar una persona por la Iglesia a través de Internet, teléfono móvil u otro medio de comunicación... ?

No.
El Código de Derecho Canónico dice:

1104 § 1. Para contraer válidamente matrimonio es necesario que ambos contrayentes se hallen presentes en un mismo lugar, o en persona o por medio de un procurador.

§ 2. Expresen los esposos con palabras el consentimiento matrimonial; o, si no pueden hablar, con signos equivalentes.

1105 § 1. Para contraer válidamente matrimonio por procurador, se requiere:

1.- que se haya dado mandato especial para contraer con una persona determinada;

2.- que el procurador haya sido designado por el mandante, y desempeñe personalmente esa función.

§ 2. Para la validez del mandato se requiere que esté firmado por el mandante y, además, por el párroco o el Ordinario del lugar donde se da el mandato, o por un sacerdote delegado por uno de ellos, o al menos por dos testigos; o debe hacerse mediante documento auténtico a tenor del derecho civil.

§ 3. Si el mandante no puede escribir, se ha de hacer constar esta circunstancia en el mandato, y se añadirá otro testigo, que debe firmar también el escrito; en caso contrario, el mandato es nulo.

§ 4. Si el mandante, antes de que el procurador haya contraído en su nombre, revoca el mandato o cae en amencia, el matrimonio es inválido, aunque el procurador o el otro contrayente lo ignoren.